Леви факторијел

Леви факторијел природног броја n, у ознаци !n увео је 1971. године српски математичар Ђуро Курепа, изложивши његову дефиницију на једном математичком скупу у Охриду.
Леви факторијел природног броја n је збир:
!n=0!+1!+2!+\ldots+(n-1)!

Примери. !2=0!+1!=2, !3=0!+1!+2!=4, …

Наводимо две важне особине левог факторијела:

  • Леви факторијел било ког природног броја n>1 је паран број
  • !n=!(n-1)+(n-1)!

Након дефинисања левог факторијела професор Курепа је формулисао и значајну хипотезу: nzd(n!, !n)=2.

Друга средња линија трапеза

trapezxxУ овом чланку се дефинише појам Друге средње линије трапеза и наводе се нека њена својства. Након тога приказана су и решења неких интересантних проблема који се односе на Другу средњу линију и геометрију трапеза.

Преузимање (ПДФ)

Једна оптичко-математичка илузија са чоколадом

Крајем јуна је у више електронских новина приказан чланак у коме се упућује на изванредан начин да се „украде“ коцкица чоколаде, а да се то „не примети“.  У следећем прилогу са Youtube-а  приказан je „поступак“ у коме се чоколада дели на неколико делова, а онда се од тих делова опет саставља и преостаје једна коцкица вишка.

На овај начин се заиста добија нова чоколада правоугаоног облика. Међутим, то је само оптичка илузија, јер пошто није могуће да она има исту површину као претходна, ова новодобијена чоколада је краћа за \dfrac{1}{4} дужине коцкице чоколаде.

Ево и графичког приказа, са илустрацијом која се базира на разложивој једнакости ликова у математици.

optiluzija1

Заиста, чоколада добијена премештањем делова, је краћа за наранџасто означени део, који има површину једнаку површини једне коцкице.

Од једног геометријског задатка до уопштења

Сава Максимовић, Вељко Ћировић: Од једног геометријског задатка до уопштења

У чланку је представљено уопштење једног лепог геометријског задатка који је био 2013. године на Нордијском математичком такмичењу у Норвешкој. То такмичење се организује за средњошколце Норвешке, Данске, Исланда, Шведске и Финске и представља један од квалификационих кругова за Међународну математичку олимпијаду. Знања која се подразумевају за анализу решења овог задатка су на нивоу познавања геометрије првог разреда гимназија – изометријских трансформација и хомотетије.

Прочитајте и ово о броју ПИ

Аутор: Предраг Стојаковић, професор Ваљевске Гимназије

Број пи је трансцедентан број чије децимале садрже све могуће и замисливе распореде цифара: међу њима ћете наћи свој датум рођења, регистарски број свог аутомобила или број мобилног телефона.

Да ли се може рећи да је број “пи” број Универзума?

У ово фасцинантно искуство свако се може уверити: свако ће моћи да нађе датум свог рођења скривен у децималама броја пи. Датум победе над фашизмом, 8. мај 1945. године (08051945) налази се тачно на 25.462.402 месту после запете: ово можете да проверите (невероватне особине броја “пи” можете да погледате на адреси: [link] ).

Наставите са читањем

Индивидуализација контролних задатака у настави математике

pulaНа стручном методичком скупу у Пули, у петак 8. новембра одржана је радионица, на тему: Индивидуализација контролних задатака у настави математике, аутора проф. др Војислава Андрића и Вељка Ћировића. Рад, са детаљним примерима приказаним на радионици, можете преузети овде.

Веб адреса о скупу.

Математика помаже економији

У Пули се од 7. до 9. новембра 2013. године одржава 8. Стручно-методички скуп чија је општа тема Колелација математике и других наставних предмета.

У прилогу је рад проф. др Војислава Андрића на тему: Математика помаже економији. У раду је наведено више конкретних проблема који третирају наставане проблеме из наставе математике у основној и средњој школи.

Веб адреса о скупу.

Неколико занимљивих задатка са графовима

Многи лепи логичко-комбинаторни задаци могу се решавати помоћу графова. Наведено је неколико задатака са решењима. Задаци су намењени старијим основцима.

Задатак 1. Могу ли се следеће фигуре нацртати без подизања оловке и без пролажења већ нацртаном линијом?

1slik

Наставите са читањем

Доказ Питагорине теореме од стране америчког председника

pitagДвадесети по реду, амерички председник Џејмс Гарфилд, доказао је 1876. године Питагорину теорему на оригиналан начин коришћењем површина.

Јасно је како је добијена фигура са дате слике. Два подударна правоугла троугла постављена су тако да им се катете додирују у једном темену, обе припадају једној правој и троуглови су са исте стране те праве линије. Троугао који је на тај начин одређен хипотенузама је у овом случају значајан и заједно са два правоугла троугла , образују трапез чије су основице a и b и висина a+b.

Одредимо површину овог трапеза на два начина. Прво, директном применом формуле за површину трапеза:

P=\dfrac{(a_1+b_1)\cdot h}{2}=\dfrac{(a+b)\cdot(a+b)}{2}=\dfrac{a^2}{2}+ab+\dfrac{b^2}{2}

Међутим, она се може добити и као збир површина три уочена троугла:

P=2\cdot \dfrac{a b}{2}+\dfrac{c^2}{2}=a b+\dfrac{c^2}{2}

Сада нам једино преостаје да ове две ствари изједачимо, пошто се оба резултата односе на површину исте фигуре. Па важи:

\dfrac{a^2}{2}+ab+\dfrac{b^2}{2}=ab+\dfrac{c^2}{2}

Одузимањем обема странама израза a b добијамо \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{b^2}{2} = \dfrac{c^2}{2}, и коначно одавде множењем са 2, добијамо: a^2+b^2=c^2, што је и требало доказати. \blacksquare

Један доказ Питагорине теореме коришћењем сличности

Добро је познат исказ важне Питагорине теореме, по којој у правоуглом троуглу са дужинама катета a и b и хипотенузе c важи a^2+b^2=c^2. У математици постоји више десетина различитих доказа ове теореме, а овде ће бити приказан један кратак и интересантан доказ у коме се користи сличност троуглова.

pitag_sa_slicnoscu

Пођимо од правоуглог троугла \triangle ABC.  На правој одређеном с’ дужи BC одредимо тачке E и D са разних страна тачке B, и распоредом E - B - C и B - C - D, тако да је EB=BD=AB. Тројка тачака E, D и A одређује круг са центром у темену B.

Покажимо да су троуглови \triangle ECA и \triangle ACD слични.

Они имају по један једнак прав угао. Покажимо да су им и остали парови углова једанки. Троугао \triangle AED је правоугли са правим углом ког темена A, пошто је ED пречник уоченог круга.  У троуглу \triangle ECA је \angle AEC + \angle CAE=90^{\circ}, али пошто је \angle DAC + \angle CAE = 90^{\circ}, тo je и \angle AEC = \angle DAC. A одавде се лако показује да је и трећи пар углова једнак, па следи сличност.

Због сличности ових троуглова пропорционалне су им одговарајуће дужине страница, па важи:

\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{AC}{CD}

односно:

\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{b}{c-a}

а одавде се једноставно добија: b^2=(c+a)(c-a) односно b^2=c^2-a^2, то јест: a^2+b^2=c^2, што је и требало показати. \blacksquare

Мисаоне игре као подстицај развоја креативности код ученика

slikrrРазвој креативности код ученика један је од основних циљева које су поставили савремено друштво и токови у њему, пред сам образовно-васпитни систем, а и ван њега.

Када се говори о креативности, незаобилазна је њена психолошка основа, односно резултати психолошких истраживања који се посебно баве креативношћу и њеним компонентама. Али исто тако, усудићу се да кажем да је веома тешко и помишљати на развијање креативности код деце, ако се те помисли и идеје како то чинити, на неки начин не односе на математику и неке њене методе, „технике“ и знања.

Једна од веома важних, да тако кажем, друштвених тековина које неизоставно утичу на развој креативности су мисаоне игре.

Овде можете преузети мој текст на ову тему, у коме су представљена правила четири веома интересантне мисаоне игре, са дубоком математичком основом.

Збир углова при врховима звезде петокраке

pentagram1Постављен је текст о једној интересантној особини углова који одговарају врховима пентаграма – звезде петокраке. Показано је да је збир углова при врховима петокраке једнак 180^{\circ}. Текст можете прочитати овде.

Падованов низ

Постављен је текст о једном интересантном низу који се дефинише рекурентном релацијом: x_n=x_{n-1}+x_{n-2}+x_{n-3},\ x_0=1,\ x_1=1,\ x_2=1 и приказана су нека његова својства. Текст можете прочитати овде.

Чланак у часопису Настава математике: „Варијације на задату тему“

У часопису Настава математике, број 1-2 /2013, који издаје Друштво математичара Србије, изашао је чланак „Варијације на задату тему„, аутора: Владимира Мишића, Вељка Ћировића и Проф. Др Војислава Андрића, као резултат рада ваљевске методичке радионице.

У чланку је анализирана проблемска ситуација са једним занимљивим задатком и његовим решењима, а формулисани су и нови задаци који су проистекли у процесу ученичких истраживања.

преузимање чланка

Множење два броја у староегипатској математици

Стара египатска цивилизација оставила је неизбрисив траг у историји човечанства, а у њему веома значајно место има и математика тога доба.

Интересантан приказ множења два броја у староегипатској математици можете погледати  овде.

Изопериметријски проблеми (неједнакости)

IsoperiПостављена је презентација предавања колегинице Маријане Стефановић на тему изопериметријских
неједнакости, одржаног 7. марта на Методичкој радионици у Ваљеву. Наведен је задатак изопериметрије,
историјат и приказани важни резултати са доказима и примерима.

Маријана Стефановић – Изопериметријски проблеми (неједнакости)

Синиша Бубоња – Бифонова игла, резанац и број пи

piБрој пи је један од најстаријих бројева познатих човјечанству. Број пи представља однос обима круга и његовог пречника. Број пи је ирационалан и трансцедентан. Познат је људима већ више од 4000 година, што знамо из разних старих списа. Велшки математичар Willijam Jones (1675-1749) је први увео ознаку \pi  за број пи, коју и данас користимо. Посебно је интересантан један од начина добијања приближних вриједности броја \pi , који ћу овдје да изложим.

Наставите са читањем

Синиша Бубоња – Ератостен и бунар

eratosten1Ератостен из Кирене (276-194. пне), управник Александријске библиотеке, постао је познат као први човјек у историји који је измјерио обим Земље (240. пне). Ератостен је дошао до свог открића примјењујући геометрију. Уочио је да у подне, за вријеме љетне дугодневице 21. јуна (љетни солистициј) у граду Сијени, предмети не бацају сјену. Видио је свој одраз у једном дубоком бунару до чијег дна сунчеви зраци иначе не допиру. За Ератостена је то значило да штап пободен под правим углом у земљу стоји упоредо са сунчевим зрацима. Он је знао да у Александрији сунце увијек прави сјену и да је Сијена знатно јужније од Александрије.

Наставите са читањем

Троуглови чији мерни бројеви страница су узастопни природни бројеви

У овом тексту се детаљниjе описју неке класе троуглова чији су мерни бројеви страница узастопни природни бројеви, а за анализирање наведених класа користи се обрнута Питагорина теорема и Херонова формула.

Проф. Др Војислав Андрић – Троуглови чији мерни бројеви страница су узастопни природни бројеви