Доказ Питагорине теореме од стране америчког председника

pitagДвадесети по реду, амерички председник Џејмс Гарфилд, доказао је 1876. године Питагорину теорему на оригиналан начин коришћењем површина.

Јасно је како је добијена фигура са дате слике. Два подударна правоугла троугла постављена су тако да им се катете додирују у једном темену, обе припадају једној правој и троуглови су са исте стране те праве линије. Троугао који је на тај начин одређен хипотенузама је у овом случају значајан и заједно са два правоугла троугла , образују трапез чије су основице a и b и висина a+b.

Одредимо површину овог трапеза на два начина. Прво, директном применом формуле за површину трапеза:

P=\dfrac{(a_1+b_1)\cdot h}{2}=\dfrac{(a+b)\cdot(a+b)}{2}=\dfrac{a^2}{2}+ab+\dfrac{b^2}{2}

Међутим, она се може добити и као збир површина три уочена троугла:

P=2\cdot \dfrac{a b}{2}+\dfrac{c^2}{2}=a b+\dfrac{c^2}{2}

Сада нам једино преостаје да ове две ствари изједачимо, пошто се оба резултата односе на површину исте фигуре. Па важи:

\dfrac{a^2}{2}+ab+\dfrac{b^2}{2}=ab+\dfrac{c^2}{2}

Одузимањем обема странама израза a b добијамо \dfrac{a^2}{2} + \dfrac{b^2}{2} = \dfrac{c^2}{2}, и коначно одавде множењем са 2, добијамо: a^2+b^2=c^2, што је и требало доказати. \blacksquare

Advertisements

One comment on “Доказ Питагорине теореме од стране америчког председника

  1. Повратни пинг: Доказ Питагорине теореме од стране америчког председника | МАТЕМАТИКА

Оставите коментар

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s