Један доказ Питагорине теореме коришћењем сличности

Добро је познат исказ важне Питагорине теореме, по којој у правоуглом троуглу са дужинама катета a и b и хипотенузе c важи a^2+b^2=c^2. У математици постоји више десетина различитих доказа ове теореме, а овде ће бити приказан један кратак и интересантан доказ у коме се користи сличност троуглова.

pitag_sa_slicnoscu

Пођимо од правоуглог троугла \triangle ABC.  На правој одређеном с’ дужи BC одредимо тачке E и D са разних страна тачке B, и распоредом E - B - C и B - C - D, тако да је EB=BD=AB. Тројка тачака E, D и A одређује круг са центром у темену B.

Покажимо да су троуглови \triangle ECA и \triangle ACD слични.

Они имају по један једнак прав угао. Покажимо да су им и остали парови углова једанки. Троугао \triangle AED је правоугли са правим углом ког темена A, пошто је ED пречник уоченог круга.  У троуглу \triangle ECA је \angle AEC + \angle CAE=90^{\circ}, али пошто је \angle DAC + \angle CAE = 90^{\circ}, тo je и \angle AEC = \angle DAC. A одавде се лако показује да је и трећи пар углова једнак, па следи сличност.

Због сличности ових троуглова пропорционалне су им одговарајуће дужине страница, па важи:

\dfrac{EC}{AC}=\dfrac{AC}{CD}

односно:

\dfrac{c+a}{b}=\dfrac{b}{c-a}

а одавде се једноставно добија: b^2=(c+a)(c-a) односно b^2=c^2-a^2, то јест: a^2+b^2=c^2, што је и требало показати. \blacksquare

Advertisements

Оставите коментар

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s