Центрирани хексагони бројеви; Збир низа оваквих бројева

Низ центрираних хексагоних бројева чине: 1, 7, 19, 37, 61, 91, …  а општи члан се може записати у облику:

a_{n}=3n^2-3n+1.

Они се могу представити и сликовито, а прва три су:

hexbojevi1

Идеја је да одредимо збир првих n чланова оваквог низа.

Пошто општи члан низа a_{n} = 3n^2-3n+1 можемо представити као разлику кубова:

3n^2-3n+1=n^3 - (n-1)^3

то сада можемо посматрати низ једнакости:

a_{1}=1^3-0^3=1

a_{2}=2^3-1^3=7

 a_{3}=3^3-2^3=19

a_{4}=4^3-3^3=37

\vdots

a_{n-1}=(n-1)^3-(n-2)^3

a_{n}= n^3-(n-1)^3

Сумирајући све ове чланове, добијамо:

\displaystyle \sum_{j=1}^n a_n=n^3

До жељеног збира дошли смо релативно једноставно, а да се то и није баш могло наслутити када смо видели како изгледају чланови овог низа.

Пример. Збир првих 10 чланова низа хексагоних бројева је 10^3=1000.

Advertisements

Оставите коментар

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s