Један геометријски задатак (за 7 разред)

Нека је ABCD произвољан конвексан четвороугао. Нека су К и М редом средишта страница AB i CD. Нека је тачка N пресек дужи АМ и DК, тачка L пресек дужи КС и ВМ. Доказати да је површина четвороугла KLMN једнака збиру површина троуглова AND и BCL.

Решење. Означимо са E, F и G редом подножија висина из темена D, M и C, троуглова AKD, ABM, KBC. На слици су одговарајуће висине истакнуте црвеном бојом. Наравно, све ове висине су нормалне на AB, паралелне су међусобно, и део су једног правоуглог трапеза EGCD (GC и DE су му основице). M je средиште DC па је MF средња линија трапеза EGCD, и важи FM=(ED+GC)/2.

С обзиром да јеAK=KB=\frac{AB}{2}

сада важи:

P_{\triangle AKD} +P_{\triangle KBC} =\frac{AK \cdot ED}{2} + \frac{KB \cdot GC}{2} =\frac{AB \cdot ED}{4} + \frac{AB \cdot GC}{4}=\frac{AB}{2} \cdot \frac{ED+GC}{2}=\frac{AB}{2} \cdot FM=P_{\triangle ABM}.

Дакле, P_{\triangle AKD} +P_{\triangle KBC} =P_{\triangle ABM}

И ово је кључни моменат овог задатка. Сада само треба обема странама одузети њихове заједничке делове, тј. површине троуглова AKN и KBL. А када једнаким странама у горњем идентитету одизмемо једнаке величине, тј. површине та два троугла, добијамо управо оно што је и требало показати:

P_{\triangle AND} +P_{\triangle BCL} =P_{ KLMN}.

Advertisements

Оставите коментар

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се / Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се / Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се / Промени )

Google+ photo

Коментаришет користећи свој Google+ налог. Одјавите се / Промени )

Повезивање са %s